Balade en Analyse non standard sur les traces de A. Robinson

En 1961 A. Robinson ([15]) introduit l’Analyse non standard et répond ainsi positivement à la question : comment développer de façon cohérente la notion de quantité infinitésimale introduite par G.W. Leibniz aux environs de 1690 et comment développer l’Analyse sur cette base ? La constructrion de A. Robinson et les adaptations qu’on en fit par la suite utilisent des procédés de Logique Mathématique et plus particulièrement de Théorie des Modèles. Le Theorème de compacité ou les ultrapuissances (ce que nous utiliserons ici) sont à la base de cette construction. En général ces techniques permettent d’obtenir des modèles qualifiés de non standard , en particulier des modèles non standard de l’Arithmétique (le premier modèle non standard de l’Arithmétique fut obtenu en 1934 par T. Skolem, un tel modèle contient des nombres naturels supérieurs à tous les naturels concrets 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . ). Voilà pourquoi A. Robinson choisit l’expression ’Analyse non standard’. Il existe une présentation axiomatique de l’Analyse non stanbard due à E. Nelson ([13]), cette présentation appelée Internal Set Theory ne sera pas traitée ici (à son sujet on peut notamment consulter [7],[14]). Dans les cinq premiers paragraphes on développe les notions de base dans le cadre ’limité’ d’une ultrapuissance des réels, c’est seulement au paragraphe 6 qu’on rencontre la situation générale d’un univers non standard au travers des ultrapuissances bornées. Au paragraphe 1 on étend le champ R des réels pour obtenir une extension ∗R dont les éléments sont appelés hyperréels ; on montre ensuite que dans ∗R chaque réel est entouré de quantités infiniment proches. La construction (une ultrapuissance) nécessite un ultrafiltre non principal sur N ou, ce qui est équivalent, une ’mesure sur N’. Les ensembles et fonctions standard de ∗R sont définies au paragraphe 2, on peut alors formuler une première version du Principe de transfert. Ce résultat essentiel traduit de façon cohérente le principe formulé par G.W. Leibniz selon lequel